Preface

此为我开的一个新的系列, 我将其称为 数学漫谈 . 在这里我将分享一些在平时学习数学过程中的思考, 或者是看到的有趣的题, 主要是一些书上或者课上不教的知识. 需要说明的是这里的开题原则是有趣, 并非是为了应试, 或是学习什么专门而系统的知识。所以这里每个问题之间应该是没有什么联系, 而且各个题目可能是偏难怪而不能用常规方法解决的.

此为第一篇, 聊一聊日出引理 (Rising sun lemma), 我们通过一道题引入, 选自陈天权《数学分析讲义》习题 4.4.6.

1. 例题

设 $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ 为连续函数, 对于 $ \forall~x \in \mathbb{R} $, 若有 $ y > x $, 使得 $ f(y) > f(x) $,则称 $ x $ 是 $ f $ 的一个阴影点. $ S $ 表示为 $ f $ 的全体阴影点的集合. 试证:

1. 若 $ x \in S $, 则 $ \exists~\varepsilon > 0 $, 使得开区间 $ (x-\varepsilon,x+\varepsilon) \in S $, 换言之 $ S $ 是 $ \mathbb{R} $ 中开集.

2. 有至多可数集 $ J \subset \mathbb{N} $, 对于每一个 $ n \in J $, $ \exists~a_n < b_n \in \mathbb{R} $, 且 $$ \forall~n,n\in J~\left(n\neq m \to (a_n,b_n) \cap (a_m,b_m) = \empty \right),~\wedge S=\bigcup_n(a_n,b_n). $$

3. $ \forall~n \in J~s.t. (a_n \notin S, b_n \notin S) $.

4. $ \forall~n \in J ~ \forall~x \in (a_n,b_n), s.t.\left( \sup{y \in [x,b_n] : f(y) \leq f(x) } = b_n \right) $.

5. $ \forall x \in (a_n, b_n) \left( f(x) \leq f(b_n) \right) $.

6. $ f(a_n) \leq f (b_n) $.

7. $ f(a_n) = f(b_n) $.

注: 以上结果 2 和 7 常被称作日出引理 (Rising sum lemma), 他是匈牙利数学家 F.Riesz 在研究一元函数的可微性时得到的.

证明

1. 若 $x$ 为阴影点, 则有 $ y>x $ s.t. $ f(y) > f(x) $. 由于 $ f $ 在 $ x $ 处连续, 则由连续函数的局部保号性, 有$ \varepsilon>0 $, 使得 $ x+\varepsilon < y $, 且 $ f $ 在 $ (x-\varepsilon, x+\varepsilon) $ 上取值均小于 $ f(y) $. 故 $ (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset S $\

2. 设 $ x \in S $, 令 $ a_x=sup{a\notin S:a<x} $ 和 $ b_x = \inf{a\notin S:a>x} $. 显然 $ x \in (a_x,b_x) \subset S $, 且对于任何 $ x, y \in R $, $$ (a_x,b_x)=(a_y,b_y)\vee(a_x,b_x)\cap(a_y,b_y)=\empty. $$ 再由开区间构造定理, 记区间列存在至多可数集使得 $$ { (a_n,b_n) : n \in \mathbb{N} } = { (a_x,b_x):x \in S }. $$ 显然有, $$ S = \bigcup_{x \in S}(a_x,b_x) = \bigcup_{n=1}^{\infty}(a_n,b_n). $$

3. 反证法, 只证 $ a_n $,($ b_n $同理) 若 $ a_n \in S $, 记$ x= frac{a_n+b_n}{2} \in S $, 则 $ (a_n,b_n) = (a_x,b_n) $. 若 $ a_x \in S $, 由 $ 1 \implies \forall \varepsilon > 0, (a_x - \varepsilon, a_x + \varepsilon) \in S $, 则 $ a_x $ 为阴影点, 矛盾! 故 $ a_n \notin S $.

4. 由上确界定义, $ a = \sup{y \in [x,b_n] : f(y) \geq f(x)} \leq b_n $， 下证 < 不成立. 若 $ a < b $, 则 $ a\in(a_n,b_n) $, 故 $ a $ 为阴影点, $ \exists z > b_n, s.t. f(z) > f(a) > f(b_n) $. 则 $b_n$ 也为阴影点, 矛盾!

5. 若 $ \exists x_0 \in (a_n,b_n), s.t. f(x) > f(b_n) $, 则 $ x $ 不为阴影点, 矛盾!

6. $ \displaystyle f(a_n) = \lim_{x \to a_n} f(x) < f(b_n) $

7. 若 $ f(a_n) < f(b_n) $,则 $ a_n $为阴影点, 矛盾!

2. 日出引理

接下来我们介绍日出引理 (Rising Sun Lemma), 并且聊一聊这个定理的意思.

2.2 引理

(日出引理) 设 $ F : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ 是连续函数, 且 $ \lim_{n \to \pm \infty} F(x) = \mp \infty $ . $ F $ 的阴影集记为 $$ E = { x \in \mathbb{R} : \exists~y > x, s.t.~F(x) > F(y)} $$ 则 $ G $ 是开集, 它的任何连通成分都是有界开区间 $ (\alpha, \beta) $, 且 $ F(\alpha) \leq F(\beta) $.

2.2 含义

现在让我们看看日出引理和阴影点到底是什么意思呢, 我们通过一张图来介绍

通过上图可以看到, 黑线部分即为阴影点, 这也符合前面所说的: 对于 $ x \in \mathbb{R} $,若有 $y > x $ 使得 $ f(y) > f(x) $, 则称 $ x $ 是 $ f $ 的一个阴影点. 但是还有一个问题, 如果一个函数严格递增 (如 $ y = x $), 则按照上述引理, $ y = x $ 应该处处为阴影点, 但是, 我们很容易想到 $ y = x $ 不会有阴影点, 如下图

这是一个问题, 为此我找遍全网, 总算在 Wiki 上找到了 Rising sun lemma 的词条, Wiki 的定义如下

Suppose $ g \in C(a, b) $ and $ S = { x \in [a,b] : \exists~y \in (x,b],~\text{s.t.~} g(y) > g(x) }$ (Note that $ b \notin S $). Define $ E = S \cap (a,b) $.

Then $ E $ is an open set, and it may be written as a countable union of disjoints intervals $ E = \cup (a_k, b_k) $, such that $ g(a_k) = g(b_k) $, unless $ a_k = a \in S $ for some $ k $, in which case $ g(a) < g(b_k) $ for that one $ k $. Furthermore, if $ x \in (a_k,b_k) $, then $ g(x) < g(b_k) $.

Wiki 最后还解释了一下

The colorful name of the lemma comes from imagining the graph of the function g as a mountainous landscape, with the sun shining horizontally from the right. The set E consist of points that are in the shadow.

由上面的定义可知 $\forall~x \in [a,b) \subset \mathbb{R} $, $ x $ 均为阴影点, 因为 $ x $ 想要不为阴影点, 那么必须 $ f(x) = x > b $, 这样才能接受到阳光, 而 $ x < b $, 所以 $ x $ 均为阴影点, 实际上的图应该为

上图因为蓝色的线挡住了光, 所以后边的为阴影点.

我在发帖子之前专门搜了一下没有关于日出引理的任何搜索, 所以这应该是第一个写日出引理的帖子. 甚至算是填补了中文互联网的空白?