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\documentclass[UTF-8,notitlepage]{ctexbook}
\usepackage{amsmath,amssymb,geometry,enumitem,emptypage}%数学公式
\geometry{a4paper,scale=0.8}%版心宽度
\usepackage{framed}%边框
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\usepackage[colorlinks,urlcolor=blue]{hyperref}%设定超链接以及颜色
\linespread{1.52}%1.52 倍行距
\title{四川大学}
\author{2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题}
\date{\begin{flushleft}
\textbf{考试科目：}数学分析、高等代数\\
\textbf{科目代码：}352\\
\textbf{适用专业：}基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、不确定性处理的数学、信息安全
\end{flushleft}
\begin{flushright}(答案必须写在答题纸上，写在试题上不得分)\end{flushright}}
\begin{document}
\section{前言}
\subsection{编者按}本文档为2005年川大数院考研试卷，本人有幸得到当年试题纸质版，由于年代久远以及原主人的保存不当，纸质版已经非常的老旧（这个不算老，还有个1992年的四川高考题，不过不在我手里），为了纪念友人的心意，故对其进行\LaTeX 重排。在征求原主人意见之后，本人将此电子档以及\LaTeX 源码免费分享，如需对此代码进行编译请选择XeLaTeX编译。

原卷为A3单面，为\LaTeX 方便(由于电脑屏幕小，分栏看不清楚)，改为A4纸。若有需求，自行改变即可。

川大数学系的考试题有点意思，我觉着可以从里面选一道题更新《数学漫谈》系列，答案将于一个月后发布，仍然分享\LaTeX 源代码。

原文链接 \href{https://www.icey.pro/math/397/}{四川某大学05年数学专业考研题},更多川大考研试卷请于原文下载。
\subsection{特别声明}
\begin{itemize}
\item{}该试卷版权仍属于四川大学数学学院，本人仅作整理，如有侵权请联系我删除。
\item{}本代码文档遵从CC BY-NC 4.0协议，您可随意对代码随意进行编辑，分发，打印等非商业的操作，更多信息请查看 \href{https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/}{CC BY-NC 4.0}。
\end{itemize}
\subsection{联系方式}
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\item{Email} \href{mailto:motionslow@qq.com}{motionslow@qq.com}
\item{Telegram} \href{https://t.me/Satomi_Akane_Bot}{https://t.me/Satomi\_Akane\_Bot}
\item{Website} \href{https://icey.pro/}{https://icey.pro/}
\end{itemize}
如有侵权，内容错误，习题解答或是其他需求请联系我，我将在看到后尽快回复。

\begin{flushright}Icey于22点56分\\ \today\end{flushright}
\section{试卷}
\begin{framed}
\maketitle
\rule[15pt]{14.3cm}{0.05em}

请注意：本试题分为两部分：“数学分析”部分(第一题至第五题)和“高等代数部分”(第六题至第十二题)
\begin{center}\textbf{“数学分析”部分.本部分共5道题.}\end{center}
\begin{itemize}
\item[一、](本题满分15分)求极限$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\sin{\frac{k}{n^2}}$.
\item[二、](本题满分15分)已知数列$\{x_n\}$满足：对一切$n$都有：$\displaystyle(1+\frac{1}{n})^{(n+x_n)}=e$成立，求：$\displaystyle \lim_{n\to x}x_n$.
\item[三、](本题满分15分)计算二重积分：$\displaystyle \iint \limits_{D}e^{-(x+y)^2}dxdy$，其中$D$由$x+y=1$，$y=x$，$x=0$所围成.
\item[四、](本题满分15分)若$-\infty<a<b<c<+\infty$，$f(x)$在$[a,c]$上连续，且在$(a,c)$上二阶可导.求证：存在$\xi \in(a,c)$使得：
\[ \displaystyle \frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-c)(b-a)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{2}f^n(\xi) \textrm{ 成立.}\]
\item[五、](本小题满分15分)设对所有$x\in(0,+\infty)$. 级数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$都收敛，且$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}n!a_n$收敛. 求证：
\[ \int_{0}^{+\infty} (\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}e^{-x})dx=\sum_{n=0}^{\infty}n!a_n\].
\end{itemize}
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\end{framed}
\begin{framed}

\begin{center}\textbf{“高等代数部分”.本部分共7道题}\end{center}

\begin{itemize}
\item[六、](本题满分15分)用两种方法证明如下的结论：设$A=(a_{ij})_{n\times m}$和$B=(a_{ij})_{m\times p}$是数域$\mathbb{F}$上的矩阵，则：$rank(A)+rank(B)\leq rank(AB)+m$.
\item[七、](本题满分10分)设$\mathbb{M}_n(\mathbb{F}）$是数域$\mathbb{F}$上$n$阶方阵的全体. 对任意非零矩阵$A\in \mathbb{M}_n(\mathbb{F})$. 定义集合$S_A=\{XAY \mid \textrm{任意}X,Y\in \mathbb{M}_n(\mathbb{F})\}$. 证明：$S_A=\mathbb{M}_n(\mathbb{(F})$.
\item[八、](本题满分10分)问：矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$能否分解为初等矩阵的乘积？说明理由. 如果能分解，把它分解成初等矩阵的乘积.
\item[九、](本题满分10分)设$A=\begin{pmatrix}2&0&2\\-1&3&1\\1&-1&3\end{pmatrix}$
\begin{itemize}
\item[(1).]证明：在任意的数域$\mathbb{F}$上，$A$都不可能相似于一个对角阵.
\item[(2).] 设$f(x)=x^4-10x^3+36x^2-56x+32$. 计算$f(A)$.
\end{itemize}
\item[十、](本题满分10分)设$\underline{T}$是实向量空间$R^5$上的一个线性变换. 证明：对任何整数$k(0\leq k \leq 5)$, $\underline{T}$一定有$k$维不变子空间.
\item[十一、](本题满分10分)设$A=\begin{pmatrix}4&2&2\\2&4&2\\2&2&4\end{pmatrix}$.
\begin{itemize}
\item[(1).]证明：$A$是一个正定矩阵.
\item[(2).]求出所有的实系数多项式$f(x)$, 使得$f(A)$也是正定的.
\end{itemize}
\item[十二、](本题满分10分)是否存在非零的反对称实矩阵$A$. 使得$A$相似于一个对角矩阵？证明你的结论.
\end{itemize}
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\end{framed}
\end{document}

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\documentclass{ctexart}
\title{川大05数学考研答案}
\author{Icey}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\def\NN{{\mathbb N}}
\def\ZZ{{\mathbb Z}}
\def\RR{{\mathbb R}}
\def\CC{{\mathbb C}}
\def\QQ{{\mathbb Q}}
\def\EE{{\mathbb E}}
\def\FF{{\mathbb F}}
\def\MM{{\mathbb M}}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}
\begin{document}
\maketitle
此为川大05数学专业考研题答案，原试卷请看\href{https://www.icey.pro/math/397/}{四川某大学05年数学考研试卷}

\textbf{Notation: } $f(x) \in D^n(a,b)$为$f(x)$在(a,b)上n阶可微
\section{数学分析}
\subsection{}
求极限$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\sin{\frac{k}{n^2}}$.
\begin{proof}[解]由于
\[\frac{k}{n^2}-(\frac{k}{n^2}^3)/3\leq \sin \frac{k}{n^2}\leq \frac{k}{n^2}\]
可得
\[\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n^2}-\left(\frac{k}{n^2}\right)^3/3\right)\leq \lim_{n \to infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac{k}{n^2} \leq \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}\]
其中
\[\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n^2}-\left(\frac{k}{n^2}\right)^3/3\right)=\frac{1}{2}-\lim_{n \to \infty} \frac{n^2(n+1)^2/4}{3n^6}=\frac{1}{2}\]
且
\[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}=\frac{1}{2}\]
故有\textbf{夹逼定理}可得
\[\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \sin \frac{k}{n^2}=\frac{1}{2}\]
\end{proof}
\subsection{}
已知数列$\{x_n\}$满足:
\[\forall n \in \ZZ_+,(1+\frac{1}{n})^{(n+x_n)}=e\]
求：$\displaystyle \lim_{n\to x}x_n$.
\begin{proof}[解]
\[\forall n \in \ZZ_+,(1+\frac{1}{n})^{(n+x_n)}=e \Longrightarrow \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{(n+x_n)}=\lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\]
$\Longrightarrow \lim_{n \to \infty}x_n=0$
\end{proof}
\subsection{}
计算二重积分: 
\[\iint \limits_{D}e^{-(x+y)^2}dxdy\]
其中$D$由$x+y=1$，$y=x$，$x=0$所围成.
\begin{proof}[解]
\[\iint \limits_{D}e^{-(x+y)^2}dxdy=\int_0 ^1 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \rho e^{-\rho^2}d\rho d\theta=\frac{1}{2}\left(1-e^{-1}\right)\frac{\pi}{4}\]
\end{proof}
\subsection{}
若$-\infty<a<b<c<+\infty$，$f(x)\in C[a,c]\cap D^2(a,c)$.求证：存在$\xi \in(a,c)$使得下等式成立.
\[ \displaystyle \frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-c)(b-a)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{2}f''(\xi) \]
\begin{proof}[证]
设
\[F(x)=2f(a)(x-c)+2f(x)(c-a)+2f(c)(a-x)-k(a-x)(x-c)(a-c)\]
其中
\[\frac{1}{2}k=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-c)(b-a)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}\]
由$f(x)\in C[a,c]\cap D^2(a,c)$，故$F(x)\in C[a,c]\cap D^2(a,c)$，且$F(a)=F(b)=F(c)$.由 \textbf{Rolle定理}可得
\[\exists \xi_1 \in(a,b),\xi_2 \in (b,c),\ s.t.F'(\xi_1)=F'(\xi_2)=0\]
再由\textbf{Rolle定理}可得
\[\exists \xi \in (\xi_1,\xi_2),\ s.t.F''(\xi)=0\]
由于$F''(x)=2(c-a)f''(x)+k(a-c)$, 且$F''(\xi)=0$, 故$f''(\xi)=k$
\end{proof}
\subsection{}
设对所有$x\in(0,+\infty)$，级数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$都收敛，且$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}n!a_n$收敛. 求证: 
\[ \int_{0}^{+\infty} (\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}e^{-x})dx=\sum_{n=0}^{\infty}n!a_n\].
\begin{proof}[证]
$\forall x \in (0,+\infty)$. $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$收敛，则$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}$在$(0,+\infty)$上一致收敛，故
\[\int_0^{+\infty}(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^ne^{-x})dx=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\int_{n=0}^{+\infty}x^ne^{-x}dx\]
不妨令$I_n=\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx$, 则
\[I_n=-e^{-x}x^n\big|_{0}^{+\infty}+\int_0^{+\infty}nx^{n-1}e^{-x}dx=nI{n-1}=n!I_0\]
其中$I_0=\int_0^{+\infty}e^{-x}dx=1$, 故$I_n=n!$, 故
\[ \int_{0}^{+\infty} (\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}e^{-x})dx=\sum_{n=0}^{\infty}n!a_n\]
\end{proof}
\section{高等代数}
\subsection{}
用两种方法证明如下的结论\footnote{此即为Sylvester rank inequality, 更多内容StackexChange上的 \href{https://math.stackexchange.com/questions/298836/sylvester-rank-inequality-operatornamerank-a-operatornamerankb-leq-o}{Sylvester rank inequality}}\footnote{更多内容请看 \href{https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.671.7686&rep=rep1&type=pdf}{Proof of Inequality of Rank of Matrix on Skew Field by Constructing Block Matrix}}：设$A=(a_{ij})_{n\times m}$和$B=(a_{ij})_{m\times p}$是数域$\FF$上的矩阵，则：\[rank(A)+rank(B)\leq rank(AB)+m.\]
\begin{proof}[证]
\subsubsection{法一}
不妨设$rank(A)=r$, 则
\[\begin{aligned}rank(A)+rank(B)&=rank(A)+rank\left(AB+(I-A)B\right)\\
&\leq r+rank(AB)+rank(I-A)B\\
&=r+rank(AB)-(m-r)\\
&=rank(AB)+m\end{aligned}\]
\subsubsection{法二}
令\[M=\begin{pmatrix} I_n&0\\0&AB \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}I_n&0\\A&AB\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}I_n&-B\\A&AB\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}B&I_n\\0&A\end{pmatrix}.\]
则, 
\[n+rank(AB)=rank(M)\geq rank(A)+rank(B).\]
\end{proof}
\subsection{}
设$\mathbb{M}_n(\mathbb{F})$是数域$\mathbb{F}$上$n$阶方阵的全体. 对任意非零矩阵$A\in \mathbb{M}_n(\mathbb{F})$. 定义集合$S_A=\{XAY \mid \forall X,Y\in \mathbb{M}_n(\mathbb{F})\}$. 证明：$S_A=\mathbb{M}_n(\mathbb{(F})$.
\begin{proof}
$S_A\subset \MM_N(F)$显然, 下证 $\supset$
\marginpar{这里$E_{ij}$为第i行j列为1,其余为0的矩阵, 不把矩阵打出来是因为我不会.}
\[\forall E_{ij}\in \MM_N(F)\implies E_{ij}=\frac{1}{a_{ij}}E_{ij}AE_{ij}\implies \MM_n(F)\subset S_A\] $\implies S_A=M_N(F)$.
\end{proof}
\subsection{}
矩阵$A$能否分解为初等矩阵的乘积？说明理由. 如果能分解，把它分解成初等矩阵的乘积. 其中
\[A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\]
\begin{proof}
可以, 因为该矩阵可逆. 
\end{proof}
\subsection{}
设$A=\begin{pmatrix}2&0&2\\-1&3&1\\1&-1&3\end{pmatrix}$
\begin{itemize}
\item[(1).]证明：在任意的数域$\mathbb{F}$上，$A$都不可能相似于一个对角阵.
\item[(2).] 设$f(x)=x^4-10x^3+36x^2-56x+32$. 计算$f(A)$.
\end{itemize}
\begin{proof}
(1).$A-\lambda E=0\implies \lambda_1=\lambda_2=2, \lambda_3=4$. 其中当$\lambda =2$时,
\[(A-2E)X=0\implies \begin{pmatrix}0&0&2\\-1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0.\]
\[\implies \xi_1=(0,1,-1)\quad \xi_2=(0,-1,1).\]
$\xi_1$与$\xi_2$线性相关, 故$A$不可对角化.

(2).$f(x)=x^4-10x^3+36x^2-56x+32=(x-2)^2(x-4)$.

\[\implies f(A)=(A-2E)^3(A-4E)=0.\]
\end{proof}
\subsection{}
设$\underline{T}$是实向量空间$R^5$上的一个线性变换. 证明：对任何整数$k(0\leq k \leq 5)$, $\underline{T}$一定有$k$维不变子空间.
\begin{proof}
$T$为$\RR^5$的一个线性变换$\implies dim(range\ T)\leq 5$.\\$\implies \forall k \leq 5$, $T$一定有k维不变子空间.
\end{proof}
\subsection{}
设$A=\begin{pmatrix}4&2&2\\2&4&2\\2&2&4\end{pmatrix}$.
\begin{itemize}
\item[(1).]证明：$A$是一个正定矩阵.
\item[(2).]求出所有的实系数多项式$f(x)$, 使得$f(A)$也是正定的.
\end{itemize}
\begin{proof}
(1).\[H_1=4 \quad H_2=\begin{vmatrix} 4&2\\2&4 \end{vmatrix}=12 \quad H_3=det A=48,\implies A \text{为正定矩阵}. \]
(2).\[\left |A-\lambda E\right |=0\implies \lambda_1=2 \quad \lambda_2=4 \quad \lambda_3=6\]
\[\implies f(x)=(x-2)(x-4)(x-6)\]
\end{proof}
\subsection{}
是否存在非零的反对称实矩阵$A$. 使得$A$相似于一个对角矩阵？证明你的结论.
\begin{proof}
不存在,由于$A$为反对称阵$\implies -A=A^T$, 则
\[\exists P,\ \exists \QQ \text{ 为对角阵, s.t. }\QQ=P^{-1}AP,\text{ 则 }\QQ^T=(P^T)A^T(P^T)^{-1}\]
\[\implies A=-P(P^T)A(P^T)^{-1}P^{-1}=-(PP^T)A(PP^T)^{-1}.\]
\end{proof}
\end{document}