数学漫谈 | 矩阵合同与相似

Introduction

此为数学漫谈的第二篇, 聊一聊矩阵中「合同」与「相似」的关系. 首先我们看它们的定义.

相似: 我们称 $ A $ 与 $ B $ 是相似的 (similar), 如果存在可逆矩阵 $P$, 使得 $ B = P^{-1} A P $.
合同: 我们称 $ A $ 与 $ B $ 是合同的 (congruent), 如果存在可逆矩阵 $ Q $, 使得 $ B =P^T A P $.

我们发现上面两个定义的区别仅在于对过渡矩阵是的逆矩阵还是转置矩阵做运算. 而我们知道, 如果恰好这个过渡矩阵是正交矩阵的话, 我们就得到了「合同」与「相似」相等. 那么一般情况呢? 相似和合同哪个是更本质的概念?

1. 相似

我们设线性空间 $ V $, 一组基为 $ (\xi _1, \xi_2,…, \xi_n) $, 则任意 $ \vec{\alpha} \in V $,坐标为 $ X = (x_1,x_2,~…,x_n)$. 设线性变换 $ T: V \to V $, $ T $ 在该基即下的矩阵为 $ A $. $ T \vec{\alpha} $ 的坐标为 $ Y = (y_1,y_2,…,y_n) $, 则我们得到 $ Y = AX $.

现在我们换一组基, 设 $ (\eta_1,\eta_2,…,\eta_n) $ 为另一组基. $ \alpha,\beta $ 在该基下的坐标为 $ X’,Y’ $, 线性变换 $ T $ 在该基下的矩阵为 $ B $, 则 $ Y’ = BX’ $.

若假设基变换满足 $ X’ = PX, Y’ = PY $. 则有 $$ Y’ = BX’ \implies RY = BRX \implies Y = R^{-1}BRX $$ 让我们回到刚开始的式子 $ Y = AX$. 可得 $ A = R^{-1}BR $. 即 $ A, B $ 相似, 所以相似矩阵可看做同一线性变换在不同做表下的表达.

3Blue1Brown 关于基变换有另一种解释, 与本文思路相反, 视频 Bilibili or Youtube .

2. 合同

2.1 证明

看到转置, 我们就想到二次型. 下面我们尝试一下两个二次型如果等价 (规范型相同), 是否得到两个矩阵合同.

设 $ f $ 为 $ V $ 中两组基下的二次型为 $ f = X^T A X $ 与 $ f = Y^T A T $, 则 $$ f = X^TAX = Y^TBY \implies B=(Y^T)^{-1}X^TAXY^{-1} $$ 我们记 $ Q = XY^{-1} $, 则 $ B = Q^TAQ $, 故等价推出矩阵合同. 反之, 若两矩阵合同, 立刻得出这两个二次型等价. 故合同矩阵是同一二次型 (规范型) 在不同基下的表达. 又二次型为双线性变换, 故合同矩阵是一个双线性映射在不同基下的表达.

2.2 例子

但是这什么意思呢? 从几何的角度出发, 两个二次型等价的话. 二者的正负惯性指数相等, 但特征值和特征向量不同, 存在一些下小小的偏差. 例如我去上海旅游需要经历三个阶段: 到上海, 旅游, 离开上海. 假设我是 x, 去上海记为 $ Q $, 玩记为 $ A $, 则这三个阶段分别为: $ Qx, AQx, Q^TAQx $. 注意这里 $ Q $ 指到上海. $ Q^T $ 指离开上海, 并不需要规定我起点在哪, 终点在哪, 我可以在北京出发去上海, 然后玩完回到南京. 当然也可以反过来, 南京出发到北京.

而相似则不一样, 它是同一线性变换在不同基下的表达. 打个比方是我要去上海工作, 去了就不回来了. 所以此次重点确定, 出发就一定要到上海, 但是可以有不同的方法.

3. 两个问题

目前还这里有两个问题, 我们将在下一部分解决它们.

为什么合同是我可以回来, 但是相似不行.
什么时候我可以回到出发点?
那么多重线性映射在不同基下的表达是什么呢?

3.1 为什么合同可以回来?

因为合同是同一双线性变换, 我可以做两次线性变换, 而相似只有一次线性变换, 确定目的地之后就没法离开了.

3.2 什么时候可以回到原地?

这里还是要解释一下为什么我说 $ Q $ 是去上海的话, $ Q^T $ 就是离开上海, 回忆一下我们在二次型时学的内容, 左乘一个矩阵 $ Q $ 是消除 $ a_{ij} $ 的话, 那么右乘它的转置 $ Q^T $就是消除 $ a_{ji} $.

然后我们只要指定离开时的终点为出发点即可, 即 $ Q^T = Q^{-1} $. 此时 $$ Q^TAQ = Q^{-1}AQ = A(Q^{-1}Q) = A. $$